Własności funkcji ciągłych
Twierdzenie 1: o działaniach arytmetycznych na funkcjach ciągłych
Jeżeli funkcje \( f\textrm{ i }g \) określone w zbiorze \( A \subset \mathbb{R} \) są ciągłe w punkcie \( x_0 \in A \) , to funkcje \( f+g, f-g, f \cdot g,{f \over g} \) (gdy \( g(x_0) =\mathrel{\llap{/\,}} 0 \)), są ciągłe w punkcie \( x_0 \).
Twierdzenie 2: o ciągłości funkcji złożonej
Jeżeli funkcja \( f \) jest ciągła w punkcie \( x_0 \) i funkcja \( g \) jest ciągła w punkcie \( y_0=f(x_0) \) oraz złożenie \( g \circ f \) ma sens, wówczas funkcja złożona \( g \circ f \) jest ciągła w punkcie \( x_0 \).
Twierdzenie 3: o ciągłości funkcji odwrotnej
Jeżeli funkcja \( f \) jest ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale \( J \), to funkcja odwrotna \( f^{-1} \) jest ciągła w przedziale \( f(J) \), w szczególności:
jeśli funkcja \( f \) jest ciągła i rosnąca w przedziale \( [a, b] \), to funkcja odwrotna \( f^{-1} \) jest ciągła i rosnąca w przedziale \( [f(a),f(b)] \),
jeśli funkcja \( f \) jest ciągła i malejąca w przedziale \( [a, b] \), to funkcja odwrotna \( f^{-1} \) jest ciągła i malejąca w przedziale \( [f(b),f(a)] \).
Przykład 1:
Przykład 2:
Uwaga 1:
\( f(x) = \begin{cases}x & \textrm{dla}~~ x \in \lbrack 0,1) \\ x-1 & \textrm{dla}~~ x \in \lbrack 2,3 \rbrack \end{cases} \)
jest ciągła w zbiorze \( A=\lbrack 0,1) \cup \lbrack 2,3 \rbrack \), gdyż jest ona ciągła w każdym punkcie tego zbioru, natomiast funkcja do niej odwrotna
\( f(x) = \begin{cases} x & \text{dla}~~ x \in \lbrack 0,1) \\ x+1 & \text{dla}~~ x \in \lbrack 1,2 \rbrack \end{cases} \)
Twierdzenie 4: o monotoniczności funkcji ciągłej i różnowartościowej
Niech funkcja \( f \) będzie ciągła w przedziale \( [a, b] \). Wówczas \( f \) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest ściśle monotoniczna w tym przedziale.
Twierdzenie 5: Weierstrassa (o osiąganiu kresów przez funkcje ciągłą w przedziale domkniętym)
Jeżeli funkcja \( f \) jest ciągła w przedziale domkniętym \( [a, b] \), to jest w tym przedziale ograniczona i osiąga swoje kresy tzn. istnieją takie punkty \( c_1, c_2 \) w przedziale \( [a, b] \), że
\( f(c_1)= \inf \limits_{x \in [a,b]}f(x), f(c_2)= \sup \limits_{x \in [a,b]}f(x) \).
Uwaga 2:
Twierdzenie 6: Własność Darboux (przyjmowanie wartości pośrednich przez funkcję ciągłą w przedziale)
Jeżeli funkcja \( f \) jest ciągła w przedziale \( [a, b] \) oraz \( f(a) =\mathrel{\llap{/\,}} f(b) \) i \( c \) leży pomiędzy \( f(a)\textrm{ i }f(b) \), to istnieje taki punkt pośredni \( \xi \in (a,b) \) , że \( f( \xi)=c \).
Uwaga 3:
Uwaga 4: O istnieniu punktów pośrednich
Twierdzenie 7: Wniosek z własności Darboux o znajdowaniu przybliżonych miejsc zerowych funkcji
Jeżeli funkcja \( f \) jest ciągła w przedziale \( [a, b]\textrm{ oraz }f(a) \cdot f(b)<0 \), to istnieje punkt \( \xi \in (a,b) \) taki, że \( f(\xi)=0 \).
Uwaga 5: